La forma correcta

La forma correcta de escribir esta palabra en español es exigir, no exijir. Exigir es un verbo que significa demandar, requerir o pedir algo con firmeza y autoridad.
La razón por la que se escribe exigir con g en lugar de j se debe a su etimología y a las reglas ortográficas del español. La palabra exigir proviene del latín exigere, que significa demandar o sacar a la fuerza. En español, cuando la letra i sigue a una g en una palabra, la g se pronuncia suave, como una j en inglés. Así, aunque la g se pronuncia suave en exigir, se mantiene la g original del latín.

Ejemplos de oraciones:
La situación económica nos obliga a exigir recortes en el presupuesto.
Para obtener una visa, las autoridades exigen ciertos documentos y requisitos.
Los ciudadanos tienen derecho a exigir transparencia en el gobierno.
La empresa exige un alto nivel de calidad en sus productos.
No puedes exigir resultados inmediatos en un proceso que lleva tiempo.

La forma incorrecta